Akılalmaz Büyüklükteki Sayılar- 1

Hayal edebileceğiniz en büyük sonlu sayı nedir?  Dünyanın bütün sahillerindeki toplam kum tanesi sayısı mı? Yoksa, tüm gözlenebilir evrendeki toplam atomaltı parçacık sayısı mı? Veya, Google isminin esinlendiği meşhur googol sayısı ($10 ^{100}$) mı? Hatta, bir googolplex ($10 ^{10^{100}}$) mi?

Tüm bunların, insanoğlunun hayal edebileceği en büyük sayı olan Graham sayısı yanında mutlak sıfırdan farkı yoktur.

 

Graham sayısını daha rahat açıklayabilmek için, nispeten daha küçük bir sayı olan Shannon sayısından başlayacağım. Akabinde, bunu baz alarak Graham sayısını birlikte hesaplayacağız.

1. Shannon Sayısı ($10 ^{120}$)

 İsmini mucidi olan Amerikalı matematikçi Claude Shannon'dan alan Shannon sayısı, olası tüm farklı satranç oyunlarının alt sınırını gösterir. Sayının büyüklüğünün daha rahat anlaşılması için yine satrançtan örnek vereceğim:

Şimdiye dek geliştirilen en kuvvetli satranç programı olan Stockfish saniyede 100 milyon varyantı analiz edip içlerinden en iyisini oynama kapasitesine sahip. Bunu başlangıç noktası kabul edip inebildiğimiz kadar derine inelim:

$10^7$ varyant -> 1 saniye

$10^9$ varyant -> 100 saniye ( ~ 1.5 dakika )

$10^{11}$ varyant -> 150 dakika ( 2.5 saat )

$10^{12}$ varyant -> 25 saat ( ~ 1 gün )

$10^{15}$ varyant -> 1000 gün (~ 3 yıl)

$10^{21}$ varyant -> 3 milyon yıl

$10^{25}$ varyant -> 30 milyar yıl 

Burada duralım. Bilim insanlarının ölçümlerine göre, evrenimizin başlangıcı kabul edilen Big Bang'den itibaren günümüze kadar geçen süre ortalama 13 milyar yıl. Yani, Stockfish evrenimizin yaşının 2 katı kadar bir süre boyunca, her saniye 100 milyon farklı satranç oyunu oynasaydı, oynayacağı toplam farklı oyun sayısı $10^{25}$ olacakti. Fakat bu bile, olası farklı oyunların alt sınırının aşağı yukarı googol'da ($10^{100}$) biri! Yani,

0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001'i!!!

Şimdi, Shannon sayısını temel kabul edip Graham sayısını anlamaya çalışalım.

2) Graham Sayısı (g(64))

İsmini yine mucidi olan Ron Graham'den alan Graham sayısı; Ramsey problemlerinin çözümü için üst sınırdır. Aynı zamanda, bu sayı somut bir problemin çözümünün ispatında kullanılan en büyük sayı olma özelliğini taşır.

Graham sayısı o kadar büyüktür ki, bildiğimiz aritmetik sembolleri bu sayıyı ifade etmek icin yetersiz kalir. Bu nedenle, yukarı ok notasyonu kullanacağız. Yukarı ok notasyonu, üs kulesi kurmamızda bize yardımcı olacak. Başlayalım:

3↑3 -> $3^3$ = 27.

3↑↑3 -> 3↑3↑3 , yani $3^{27}$ = ~ 7 trilyon.

3↑↑↑3 -> 3↑↑3↑↑3, yani 3'ün üssü olarak ~ 7 trilyon adet 3 bulunan bir üs kulesi var. Şimdiki teknolojiyle, en azindan kuantum bilgisayarlarin yardımı olmadan hesaplanması imkansız bir sayı. Her bir 3 rakamının boyu 1 milimetre olacak şekilde bu sayıyı yazmaya kalkarsak, yüksekliği 76 milyon kilometre olan bir kule elde ederiz ki, bu da dünyamızın Mars'a olan uzaklığının yaklaşık olarak 1/3'üne eşittir!  

Peki, Shannon sayısı 3↑↑↑3 sayısından ne kadar küçüktür (veya, büyüktür)?

Shannon sayısı = $10^{120}$ = ~ $3^{240}$, yani ~ 3'ün üssünde üs kulesi olarak 2'den fazla, 3'ten ise az adet 3 var. Başka bir ifadeyle, ${3^{3}}^{3}$ < $10^{120}$ < ${{3^{3}}^3}^{3}$. 3↑↑↑3 sayisinda ise 3'ün üssünde 7 trilyon adet üs var! Yani, bir nevi 3 ile 7 trilyonu karşılaştırmak gibi :)

Devam edelim:

3↑↑↑↑3 -> 3↑↑↑3↑↑↑3 = g(1)

3↑...↑3 = g(2)  (Arada g(1) sayısı kadar ↑ var!)

3↑...↑3 = g(3)  (Arada g(2) sayısı kadar ↑ var!)

...

g(64) = Graham sayısı.

Graham sayısı'nın hangi problemin çözümü için kullanıldığını öğrenmek için bir sonraki yazıma bakabilirsiniz.